[백준] 17626 Four Squares java

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

풀이

import java.io.*;

public class Main {
    static BufferedReader br;
    static int N;
    static int[] dp;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        init();
        solve();
        System.out.println(dp[N]);
    }

    static void init() throws IOException {
        br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        N = Integer.parseInt(br.readLine());
        dp = new int[N+1];
        dp[1] = 1;
    }

    static void solve() {
        for(int i = 2; i <= N; i++) {
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            for(int j = 1; j*j <= i; j++) {
                min = Math.min(min, dp[i-j*j]);
            }
            dp[i] = min + 1;
        }
    }
}

완탐 + dp 문제였다. 처음에는 그리디인줄 알고 i*i <= n 에 만족하는 크기가 제일 큰 제곱수가 최적해인줄 알았는데 아니었다. 예를 들어서 n = 48 이라면 답은 4^2 + 4^2 + 4^2 로 3이다. 하지만 매번 가장 큰 제곱수만 고르게 된다면 6^2+3^2+1^2+1^2+1^2로 5가 나오게 된다. 그렇다면 어떻게 최적해를 찾을 수 있을까. 한번 표로 나열해보자.

 

n	제곱수의 합	개수
1	1^2	1
2	1^2+1^2	2
3	1^2+1^2+1^2	3
4	2^2	1
5	2^2+1^2	2
6	2^2+1^2+1^2	3
7	2^2+1^2+1^2+1^2	4
8	2^2+2^2	2
9	3^2	1

잘보면 dp로 풀 수 있다. 이걸 점화식으로 세우면 dp[n] = min(dp[n-i*i]) + 1 이다. 4의 경우 4보다 작거나 같은 제곱수는 1, 2가 있다. 4-1은 3이므로 dp[3]은 3이다. 4-4는 0이므로 dp[0] = 0이다. 여기에 +1을 해주면 최적해를 찾을 수 있게된다.